前言#

这是初学线代时整理的，实践证明，当初学的有多认真，现在忘得就有多快（

正文#

命题设 $A$ , $B$ 为 $n$ 阶方阵， $AB=0$ ，则有
$rank(A) + rank(B)\le n$

分析线性映射基本定理的简单应用。

证明 $AB=0$ 说明 $B$ 的每一列都被 $B$ 映成零向量，从而 $span(B) \in Ker(A)$ ，那么有

rank(B)=dimSpan(B) \leq dimKer(A)

由线性映射基本定理可得

rank(A) + rank(B)\le dimSpan(A) +dimKer(A)=n

于是得证。

命题设 $A$ , $B$ 为 $m \times n$ ， $n \times p$ 矩阵，则有
$rank(AB) \leq min\{rank(A), rank(B)\}$

分析所谓的“秩越乘越小”。可以通过矩阵乘法运算得到这个结论，这里我们考虑另一种办法。

证明 $AB$ 乘一个列向量 $\alpha$ 可以看作两步。第一步， $B$ 乘 $\alpha$ ；第二步， $A$ 再乘 $B\alpha$ 。

第一步可以看作映射：

\sigma_1:\mathbb{F}^{p}\to\mathbb{F}^{n}, \begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_p \end{bmatrix} \mapsto B\begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_p \end{bmatrix}

第二步可以看作映射，这一步的像集也就是 $Im(AB)$ ：

\sigma_2:Span(B)\to\mathbb{F}^{m}, \begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix} \mapsto A \begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_m \end{bmatrix}

所以

rank(AB)=dim(Span(A\big|_{Im(B)}))

由于

Span(A\big|_{Im(B)})\subset Span(A)

从而 $rank(AB) \leq rank(A)$ 由于转置运算不改变矩阵的秩，所以 $rank(AB)=rank(B^TA^T) \leq rank(B^T)=rank(B)$ 整理即有 $rank(AB) \leq min\{rank(A), rank(B)\}$

命题(Sylvester不等式) 设 $A$ , $B$ 为 $n$ 阶方阵， $AB=0$ ，则有
$rank(AB) \ge rank(A)+rank(B)-n$

分析与上一个不等式的证明思路类似。

证明即证明

n - rank(A) \ge rank(B) - rank(AB)

发现

左边 = dimKer(A)\geq右边=dimKer(A|_{Im(B)})

从而得到了证明。

命题设 $A$ , $B$ 为 $m \times p$ ， $m \times q$ 矩阵，则有
$rank(A+B) \leq rank(A|B)\leq rank(A)+rank(B)$

分析将矩阵看作列向量组，然后观察它们的关系

证明显然 $A+B$ 的列向量组可以被 $A|B$ 线性表出，故 $rank(A+B) \leq rank(A|B)$ ，

设 $A,B$ 的极大无关组分别是 $(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)$ ， $(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_k)$ ，

那么 $rank(A|B) = rank(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s) \leq s+k=rank(A)+rank(B)$ ，

于是得到了证明。

命题设 $A$ , $B$ 为 $s \times n$ ， $l \times m$ 矩阵，则有
$rank \begin{pmatrix} A&O \\ O&B\\ \end{pmatrix} = rank(A)+rank(B)$

分析证明思路与上一题一致

证明设 $A,B$ 的极大无关组分别是 $(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_j)$ ， $(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_k)$ ，所以

rank \begin{pmatrix} A&O \\ O&B\\ \end{pmatrix}=rank \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1\\ 0\\ \end{pmatrix}，\begin{pmatrix} \alpha_2\\ 0\\ \end{pmatrix}，\dots, \begin{pmatrix} \alpha_j\\ 0\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ \beta_1\\ \end{pmatrix}，\begin{pmatrix} 0\\ \beta_2\\ \end{pmatrix}，\dots, \begin{pmatrix} 0\\ \beta_k\\ \end{pmatrix} \end{pmatrix}

由定义立得右边的向量组线性无关，所以

rank \begin{pmatrix} A&O \\ O&B\\ \end{pmatrix} = j+k=rank(A)+rank(B)

这样就证明了这个等式。

命题设 $A,B,C$ 为 $s \times n,l \times m,s \times m$ 矩阵，则有
$rank \begin{pmatrix} A&O \\ C&B\\ \end{pmatrix} \ge rank(A)+rank(B)$

分析证明思路与上一题没差多少

证明设 $A,B$ 的极大无关组分别是 $(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_j)$ ， $(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_k)$ ，所以

rank \begin{pmatrix} A&O \\ C&B\\ \end{pmatrix} \ge rank \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1\\ c_1\\ \end{pmatrix}，\begin{pmatrix} \alpha_2\\ c_2\\ \end{pmatrix}，\dots, \begin{pmatrix} \alpha_j\\ c_j\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ \beta_1\\ \end{pmatrix}，\begin{pmatrix} 0\\ \beta_2\\ \end{pmatrix}，\dots, \begin{pmatrix} 0\\ \beta_k\\ \end{pmatrix} \end{pmatrix}

这是因为由定义立即知右边的向量组线性无关，而且 $(\begin{pmatrix} \alpha_1\\ c_1\\ \end{pmatrix}，\begin{pmatrix} \alpha_2\\ c_2\\ \end{pmatrix}，\dots, \begin{pmatrix} \alpha_j\\ c_j\\ \end{pmatrix})$ 不一定会张成 $Span \begin{pmatrix} A\\C \end{pmatrix}$ ，从而就不难得到

rank \begin{pmatrix} A&O \\ C&B\\ \end{pmatrix} \ge rank(A)+rank(B)